行測(cè)理（數(shù)學(xué)運(yùn)算）
行之有效，測(cè)之有技之不定方程
一、什么是不定方程
未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于獨(dú)立方程個(gè)數(shù)的等式，稱為不定方程。
二、不定方程求解方法
1.奇偶性
當(dāng)方程中未知數(shù)的系數(shù)一奇一偶時(shí)，可利用奇偶性求解。
奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù);奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù);偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù);
奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù);奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù);偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)
例1.已知7x+4y=29，x、y為正整數(shù)，則x為( )。
A.5 B.4 C.2 D.6
【參考解析】A。4y為偶數(shù)，29為奇數(shù)，所以7x一定為奇數(shù)，所以x為奇數(shù)，故選擇A選項(xiàng)。
2.整除法
當(dāng)方程中的常數(shù)與其中一個(gè)未知數(shù)前系數(shù)有非1的公約數(shù)時(shí)，可以利用整除法求解。
例2.已知3x+7y=33，x，y均為正整數(shù)，則y為( )
A.11 B.10 C.9 D.8
【參考解析】C。根據(jù)題干所給信息，求不定方程中未知數(shù)y 的可能性取值，常數(shù)33與x前系數(shù)3有公約數(shù)3，考慮使用整除法。3x與33均為3的倍數(shù)，則說(shuō)明7y一定也是3的倍數(shù)，又因?yàn)?不是3的倍數(shù)，則說(shuō)明y一定是3的倍數(shù)。選項(xiàng)中只有y取9時(shí)符合題意，故選擇C選項(xiàng)。
3.尾數(shù)法
當(dāng)方程中未知數(shù)的系數(shù)出現(xiàn)以0或5結(jié)尾時(shí)，可以考慮尾數(shù)法。(一個(gè)數(shù)乘以尾數(shù)為5的數(shù)，結(jié)果的尾數(shù)要么是0要么是5，一個(gè)數(shù)乘以尾數(shù)為0的數(shù)，結(jié)果的尾數(shù)一定是0.
例3.3x+10y=41，且x和y都是整數(shù)，那么請(qǐng)問(wèn)x可能是以下哪個(gè)數(shù)據(jù)?（ ）
A.3 B.5 C.7 D.9
【參考解析】C。根據(jù)題干信息，未知數(shù)y前系數(shù)為10，可以考慮使用尾數(shù)法。10y這一部分尾數(shù)一定是0，41的尾數(shù)是1，那么3x這一部分的尾數(shù)一定是1，在所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有當(dāng)x=7時(shí)，3×7=21，尾數(shù)為1，符合題意，故選擇C選項(xiàng)。
不定方程的解是有無(wú)數(shù)組的，只能確定其中一個(gè)未知數(shù)的值，另外一個(gè)未知數(shù)才可以求出來(lái)，我們用的解題方法都是根據(jù)題目特點(diǎn)去限制未知數(shù)的范圍，選出符合題意的正確結(jié)果。因此在一些題目里也會(huì)將多種方法結(jié)合在一起去求解。通過(guò)下面的例題我們一起學(xué)一學(xué)：
例4.已知6x+5y=41，x、y為正整數(shù)，則x為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【參考解析】D。6x為偶數(shù)，41為奇數(shù)，所以5y一定為奇數(shù)，所以y為奇數(shù)，當(dāng)y為奇數(shù)時(shí)，5y尾數(shù)為5，41的尾數(shù)為1，則6x尾數(shù)為6，只有D選項(xiàng)，乘6以后的尾數(shù)為6，故選擇D選項(xiàng)。
比較構(gòu)造法速解數(shù)學(xué)運(yùn)算
大家一起來(lái)了解一種新的做題方法叫做“比較構(gòu)造法”。在了解什么是比較構(gòu)造法前，我們先來(lái)看一道題目：
【例】有人測(cè)量一座橋離水面的高度，將一根繩子對(duì)折，碰到水面時(shí)繩子還剩下6米，(按對(duì)折后的長(zhǎng)度計(jì)算);把繩子平均折成三段，碰到水面時(shí)繩子還剩下2米，問(wèn)橋高多少米?（ ）
A、2米 B、4米 C、6米 D、8米
拿到這道題目之后，我們最常規(guī)的做法是在題干中找等量關(guān)系，然后設(shè)未知數(shù)列方程來(lái)求解。除此之外，讀完這道題目我們還可得出：本題主要就是在描述作者想用一根繩子量出橋高的這么一件事。在做這件事的過(guò)程中，作者采用了兩種方法(對(duì)折、三折)來(lái)衡量橋高，我們用直觀的圖形來(lái)體現(xiàn)：
我們用紅色的線代表橋，藍(lán)色的虛線代表水面，黑色的為繩子。那么我們觀察可知兩條虛線之間的長(zhǎng)度是相同的，且同一條繩子繩長(zhǎng)必然相等，所以第三折的部分就等于虛線上方的繩子部分 ，可知：
故橋高為6米，選C。
回顧剛才的題目可知，所謂比較構(gòu)造法指的是題干中對(duì)同一事件有兩種或兩種以上的不同方案，比較方案間的異同，建立方案之間的聯(lián)系，從而構(gòu)造關(guān)系式快速解題的方法就是比較構(gòu)造法。在剛剛的題目中主要研究繩長(zhǎng)與橋高，通過(guò)圖形很容易理解，那么如果換一個(gè)題目是否還能夠運(yùn)用比較構(gòu)造法呢?我們?cè)賮?lái)看一道題目：
【例】某車隊(duì)運(yùn)輸一批蔬菜。如果每輛汽車運(yùn)3500千克，那么還剩下5000千克;如果每輛汽車運(yùn)4000千克，那么還剩下500千克，則該車隊(duì)有( )輛汽車。
A.8 B.9 C.10 D.11
E.12 F.13 G.14 H.15
這道題主要研究的是車隊(duì)運(yùn)菜的問(wèn)題，題干中明確給出了兩種運(yùn)輸方案：
故共有汽車9輛，選B。
綜合以上兩道題目，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)比較構(gòu)造法的具體解題步驟主要有以下四步：
1、列出方案
2、比較方案間的差別與聯(lián)系
3、構(gòu)造關(guān)系式
4、求解
在明確了解題步驟后，我們?cè)賮?lái)看一道題目鞏固一下對(duì)比較構(gòu)造法的理解。
【例】出租車隊(duì)去機(jī)場(chǎng)接某會(huì)議的參會(huì)者，如果每車坐3名參會(huì)者，則需另外安排一輛大巴送走余下的50人;如每車坐4名參會(huì)者，則最后正好多出3輛空車。則該車隊(duì)有( )輛出租車。
A.50 B.54 C.56 D.58
E.59 F.60 G.62 H.64
首先，我們依然要先找出題干所給的兩種方案：
共有62輛出租車，選G。
方程帶你搞定和定最值
首先我們一起來(lái)了解，什么事和定最值。例如：5人參加百分之考試，成績(jī)總和是328分，已知五個(gè)人都及格了，成績(jī)均為整數(shù)且互不相等。成績(jī)最好的最少的了多少分?像這種，告訴我們某幾個(gè)數(shù)加和一定，求其中某一個(gè)數(shù)的最大值或者最小值的問(wèn)題，就屬于和定最值。接下來(lái)我們一起來(lái)分析下上面這道題目。既然5個(gè)人所得總分是定值，我們還要得分最多的人得分要最少。這是后我們就可以逆向分析其他幾個(gè)人的得分情況。為了保證最高分極可能少，我們可以讓其余4個(gè)同學(xué)的得分盡可能多的消耗五人的總得分，意思就是讓其余四個(gè)人得分盡可能多，但是其余四個(gè)人的分最多也不能超過(guò)最高分，那我們只能讓他們的得分無(wú)限的接近但是又不能相等。同時(shí)，每個(gè)人的得分還都是整數(shù)，那最最極限的情況就是每個(gè)人于每個(gè)人相差一分的情況了。假設(shè)最高分為X，那第二名應(yīng)該為X-1,第三名為X-2,第四名為X-3,第五名為X-4。那么，根據(jù)五人總分為328，則有：X+(X-1)+(X-2)+(X-3)+(X-4)=328,X=67.6。我們算出X最小是67.6，又因?yàn)槊總€(gè)人得分均為整數(shù)，所以最高分的最小值應(yīng)該是不小于67.6的整數(shù)，所以最小應(yīng)該為68分。接下來(lái)我們?cè)趤?lái)看一道題目練習(xí)。
例：六一兒童節(jié)期間，100名幼兒園學(xué)生俺家5項(xiàng)活動(dòng)，參加人數(shù)最多的活動(dòng)人數(shù)不超過(guò)參加人數(shù)最少的活動(dòng)人數(shù)的二倍，則參加人數(shù)最少的活動(dòng)最少有多少人參加?
【參考解析】在這道題目中我們已知參加5項(xiàng)活動(dòng)的總?cè)藬?shù)100，同時(shí)，題目問(wèn)的是參加人數(shù)最少的活動(dòng)最少有多少人參加。屬于和一定求某個(gè)數(shù)的最小值。那要保證某項(xiàng)活動(dòng)參加人數(shù)最少，其他活動(dòng)的參加人數(shù)要盡可能多。然而在這道題目中并沒(méi)有規(guī)定每項(xiàng)活動(dòng)的參加人數(shù)要互不相等，所以要讓參加活動(dòng)人數(shù)最少的項(xiàng)目參加人數(shù)最少我們可已讓其他項(xiàng)目的參加人數(shù)相等且都等于最多的那一項(xiàng)的人數(shù)，因?yàn)閰⒓尤藬?shù)最多的活動(dòng)人數(shù)不超過(guò)參加人數(shù)最少的活動(dòng)人數(shù)的二倍，所以最多的項(xiàng)目參加人數(shù)最多應(yīng)該等于參加人數(shù)最少的活動(dòng)人數(shù)的二倍。假設(shè)參加人數(shù)最少的活動(dòng)人數(shù)為X，那其他項(xiàng)目的參加人數(shù)均為2X，則有X+2X+2X+2X+2X=100,9X=100,X≈11.1。有因?yàn)閄代表的是參加人數(shù)最少的活動(dòng)的參加人數(shù)，所以應(yīng)該為整數(shù)，那么X應(yīng)該為不小于11.1的整數(shù)，那X最小應(yīng)該取到12。
淺析特值法在工程問(wèn)題中的運(yùn)用
工程問(wèn)題在公務(wù)員考試行測(cè)中出現(xiàn)的頻率較高，且題型比較多樣，掌握起來(lái)難度較大，加之考場(chǎng)上壓力較大，所以想短時(shí)間解題還是比較難的，但是如果掌握合適的方法，工程問(wèn)題解決起來(lái)就會(huì)簡(jiǎn)單多了，而特值法，就是工程問(wèn)題中，比較好用的一種方法。
特值法，就是在某些復(fù)雜運(yùn)算中，不將未知量設(shè)為X，而是設(shè)為一個(gè)特殊值“1”，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算的一種方法，而特值法中，其中一個(gè)應(yīng)用環(huán)境為，所求為乘除關(guān)系，對(duì)應(yīng)量未知，可以設(shè)特值。而工程問(wèn)題中，恰恰存在了乘除關(guān)系：只要滿足了對(duì)應(yīng)量均未知，我們就可以考慮設(shè)特值。比如，求解某個(gè)時(shí)間，而工作總量以及效率均為給出，便可以將總量，效率設(shè)為相應(yīng)的特殊值。
一、給的都是時(shí)間求時(shí)間，我們可把工作總量設(shè)為特值。
通過(guò)一道例題來(lái)看一下：
例：一項(xiàng)工程甲單獨(dú)完成需要10天，乙單獨(dú)完成需要8天，問(wèn)：合作完工需要幾天?
此題為求時(shí)間，對(duì)應(yīng)的總量和效率均未知，則可以設(shè)特值，但是，如果單純地將工作總量設(shè)為1，在表示為效率時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)得出的效率都為分?jǐn)?shù)，涉及多者合作求總工作效率時(shí)則需要通分，計(jì)算比較麻煩，耗時(shí)耗力。但如果將工作總量設(shè)為時(shí)間的最小公倍數(shù)，這樣得出的效率都為整數(shù)，方便在計(jì)算效率時(shí)的加減。
所以，此題可以將總量設(shè)為10、8的最小公倍數(shù)40，進(jìn)而求出甲的效率=4，乙的效率=5，所求為40
通過(guò)這道簡(jiǎn)單的例題，其實(shí)可以總結(jié)，當(dāng)題目中所給出的條件均為完成工作的時(shí)間，我們首先可以選擇將工作總量設(shè)為時(shí)間的最小公倍數(shù)，進(jìn)而表示出所需的工作效率，從而求解。
二、若題干中除了給出時(shí)間，還給出效率比值，將效率分別設(shè)為最簡(jiǎn)比的數(shù)值。
同樣通過(guò)一道簡(jiǎn)單的問(wèn)題看一下解題思路：
例：甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)的效率比為6：5：4，現(xiàn)將A、B兩項(xiàng)工作量相同的工程交給這三個(gè)工程隊(duì)，甲隊(duì)負(fù)責(zé)A工程，乙隊(duì)負(fù)責(zé)B工程，丙隊(duì)參與A工程若干天后轉(zhuǎn)而參與B工程。兩項(xiàng)工程同時(shí)開工，耗時(shí)16天同時(shí)結(jié)束。問(wèn)丙隊(duì)在A工程中參與施工多少天?
通過(guò)這道題，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果給出了或者可以表示出效率比，我們將最簡(jiǎn)比設(shè)為效率值，然后根據(jù)條件表示出工作總量，來(lái)求解，是比較容易比較簡(jiǎn)單的。
向左走、向右走
是否你在學(xué)習(xí)行測(cè)數(shù)量時(shí)內(nèi)心充滿了排斥?
是否你覺(jué)得行測(cè)數(shù)量天生與你無(wú)緣?
是否你每次鼓起勇氣親近數(shù)量，都被它一次次拒之門外?
親愛(ài)的同學(xué)們，也許不是你們無(wú)緣，不是你們性格不合，只是找錯(cuò)了合適的切入點(diǎn)。想和數(shù)量“親近”起來(lái)，還需要我們找到一個(gè)合適的突破口，慢慢來(lái)了解他，也許它并不“可惡”，并不“高冷”，也可以“浪漫”起來(lái)。
一、行程的形式
行程的基因很簡(jiǎn)單，核心的是一個(gè)基本公式：路程=速度×?xí)r間。在這個(gè)基礎(chǔ)上，會(huì)進(jìn)行變形，有簡(jiǎn)單的一個(gè)人的行程，人生路上慢慢會(huì)有伙伴，所以也有兩個(gè)人甚至多個(gè)人的行程。我們今天說(shuō)的“向左走、向右走”說(shuō)的就是兩個(gè)人的行程關(guān)系。
二、向左走、向右走
向左走、向右走，是指行程問(wèn)題常見(jiàn)的題型，相遇問(wèn)題和追擊問(wèn)題，
1、 相遇問(wèn)題
研究相向運(yùn)動(dòng)中的速度、時(shí)間和路程三者之間關(guān)系的問(wèn)題。一般可以描述為甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后甲、乙在途中相遇。我們一起通過(guò)一個(gè)具體例題來(lái)研究一下相遇問(wèn)題蘊(yùn)涵怎樣的結(jié)論。
例1：至尊寶和紫霞互相傾慕已久，有一日，二人分別站在A、B兩地看到對(duì)方，同時(shí)向?qū)Ψ奖既ィ磷饘毜乃俣葹?m/s，紫霞的速度為2m/s。10s后二人走到了一起。請(qǐng)問(wèn)最開始二人相距多少千米
在這個(gè)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，至尊寶和紫霞所用的時(shí)間相同，所以就有：
A、B兩地之間的距離=至尊寶的路程+紫霞的路程=至尊寶的速度×相遇時(shí)間+紫霞的速度×相遇時(shí)間=(至尊寶的速度+紫霞的速度)×相遇時(shí)間
即得結(jié)論：路程和=速度和×相遇時(shí)間，所以所求為(4+2)×10=60m.
2、追及問(wèn)題
研究同向運(yùn)動(dòng)中的速度、時(shí)間和路程三者之間關(guān)系的問(wèn)題。一般可以描述為甲從A地到C地，乙在甲前方的位置B，甲速大于乙速，甲在途中追上乙.同個(gè)具體例子來(lái)看一下。
例2：至尊寶和紫霞鬧了別扭，二人分別站在A、B兩地相聚10米，某一時(shí)刻紫霞轉(zhuǎn)身向右走去，速度為2m/s，同時(shí)至尊寶以4m/s的速度追去，問(wèn)幾秒之后至尊寶追上紫霞?
在這個(gè)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，至尊寶和紫霞所用的時(shí)間也相同，所以就有：
A、B兩地之間的距離=至尊寶的路程-紫霞的路程=至尊寶的速度×相遇時(shí)間-紫霞的速度×追及時(shí)間=(至尊寶的速度-紫霞的速度)×追及時(shí)間
而A、B兩地之間的距離正是至尊寶比紫霞多走的路程，也叫路程差。
即可得結(jié)論：路程差=速度差×追及時(shí)間，
所以所求為追及時(shí)間=路程差÷速度差=10÷(4-2)=5秒
下面我們來(lái)看一下如何運(yùn)用這兩個(gè)結(jié)論解題。
例3，甲、乙二人相距若干千米，已知甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米。如果兩人同時(shí)相對(duì)而行，3分鐘可以相遇;如果兩人同時(shí)同向而行，甲在乙后面。那么甲幾分鐘可以追上乙?
A.27 B.30 C.33 D.35
答案：C。參考解析，問(wèn)題問(wèn)的是追及的時(shí)間，需要得到路程差以及兩者的速度，速度已知，路程差即兩者最開始相距的距離，而這個(gè)距離等于二者走3分鐘的路程之和，
即(60+50)×3=330，所求時(shí)間=330÷(60-50)=33分鐘。答案選擇C。
通過(guò)以上三個(gè)例子我們發(fā)現(xiàn)，簡(jiǎn)單的相遇和追及問(wèn)題只要理解好公式，靈活運(yùn)用，就能夠很容易的求解
