容斥原理+周期問題

一、容斥原理

1、兩集合容斥原理

（一）題型辨別

題干中涉及兩個(gè)集合，各集合之間出現(xiàn)交叉重疊的情況

（二）基礎(chǔ)公式

A+B-A∩B=總數(shù)-都不

2、三集合容斥原理

（一）題型辨別

題干中涉及三個(gè)集合，各集合之間出現(xiàn)交叉重疊的情況

（二）基礎(chǔ)公式

①標(biāo)準(zhǔn)型公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=總數(shù)-都不

題型特點(diǎn)：題干中給出A∩B、B∩C 、A∩C的數(shù)值。

②非標(biāo)準(zhǔn)公式：A+B+C-滿足兩項(xiàng)-滿足三項(xiàng)×2=總數(shù)-都不

常識公式：滿足一項(xiàng)+滿足兩項(xiàng)+滿足三項(xiàng)=總數(shù)-都不

題型特點(diǎn)：題干中給出“只滿足兩個(gè)”、“三個(gè)均滿足”的數(shù)值。

二、周期問題

1、周期余數(shù)

（一）題型特征

題干中給出周期，問第n個(gè)或經(jīng)過n個(gè)后為哪一個(gè)（天）

（二）解題思路

（1）找周期：找準(zhǔn)周期的起點(diǎn)和終點(diǎn)，確定總數(shù)

（2）算余數(shù)：總數(shù)÷每個(gè)周期的個(gè)數(shù)=周期數(shù)量……余數(shù)（n）

（3）做等價(jià)：余數(shù)n就等價(jià)于該周期的第n項(xiàng)（余幾數(shù)幾）

2、周期相遇

（一）題型特征

題干中出現(xiàn)多個(gè)小周期，求再次相遇。

（二）解題思路

1.已知每個(gè)主體的小周期，則相遇的大周期為小周期的最小公倍數(shù)。

2.通過周期計(jì)算余數(shù)。

3、日期小常識

一模一樣且循環(huán)出現(xiàn)的就是周期。

常考類型：星期日期、十二生肖、甲乙丙丁循環(huán)值班。

平年與閏年：

年份除以4，能整除為閏年，否則為平年；

若年份后兩位為零，則除以400，能整除為閏年，否則為平年。

平年：365天；閏年：366天。

大月與小月：

大月31天（1、3、5、7、8、10、12）；

小月30天（4、6、9、11）；

2月（平年28天，閏年29天）。

十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬

      排列組合的基礎(chǔ)知識          

基礎(chǔ)知識：

排列公式：

組合公式：

例：＝從下標(biāo)開始乘，乘上標(biāo)那么多個(gè)數(shù)，依次遞減＝10×9×8＝720，（不要硬算，上下約分巧算）

真題演練

例（2018聯(lián)考）某學(xué)院從9名同學(xué)中選出4名同學(xué)去四個(gè)不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙、丁參加三下鄉(xiāng)社會實(shí)踐活動，其中有兩名同學(xué)不能去鄉(xiāng)鎮(zhèn)丁，則分配方案共有多少種？

A.2352        B.2452         C.2552            D.2652

解析

“有兩名同學(xué)不能去鄉(xiāng)鎮(zhèn)丁”正面分析情況較多，考慮從反面入手。有兩名同學(xué)不能去鄉(xiāng)鎮(zhèn)丁的情況數(shù)=總情況數(shù)-這兩名同學(xué)去鄉(xiāng)鎮(zhèn)丁的情況數(shù)種。

故正確答案為A。

            幾何中的最短路徑問題           

幾何問題是近幾年國、聯(lián)考中必考的熱門題型，考查頻率越來越高。其中的最短路徑問題考查較多，方法性很強(qiáng)，通過學(xué)習(xí)可以有良好掌握，學(xué)習(xí)的性價(jià)比很高。下面為大家具體講解如何解決幾何中的最短路徑問題。

最短路徑問題考查形式通常為求點(diǎn)之間的最短距離，核心解題方法為平面上兩點(diǎn)之間，線段最短。在考試中最短路徑問題主要分為兩大類，平面幾何最短路徑與立體幾何最短路徑。雖然題目有多種問法，但萬變不離其宗，只要知識點(diǎn)掌握牢固、能夠融會貫通，無論如何創(chuàng)新如何結(jié)合，我們都可以熟練解決。

平面幾何最短路徑問題

1.兩點(diǎn)異側(cè)

題型特征：求在直線異側(cè)的兩點(diǎn)之間的最短距離，或在直線異側(cè)的兩點(diǎn)到第三點(diǎn)的最短距離之和

解題方法：兩點(diǎn)之間，線段最短，三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最短

例1.【2011聯(lián)考】火車站A和B與初始發(fā)車站C的直線距離都等于akm，站點(diǎn)A在發(fā)車站C的北偏東20度，站點(diǎn)B在發(fā)車站C的南偏東40度，若在站點(diǎn)A和站點(diǎn)B之間架設(shè)火車軌道，則最短的距離為：

A.akm          B.3akm            C.2akm           D.akm

【解題思路】如圖所示，根據(jù)題意中A在C點(diǎn)北偏東20度和B在C點(diǎn)南偏東40度可知，A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成頂角為120度的等腰三角形，且AB為底邊。過點(diǎn)C做AB的中垂線，交AB于點(diǎn)D。根據(jù)勾股定理可得，CD=a，AD=a，則AB=2AD=a，正確答案為D。

【點(diǎn)評】公務(wù)員考試中，三角形求邊長常用勾股定理和相似三角形。因此建議各位考生將常見三角形邊長比例熟練記憶，如30°直角三角形、等腰直角三角形、120°等腰三角形等。本題若變形為C火車站正東建立新火車站D，求AB兩點(diǎn)到D距離之和最短，因三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最短，直接連接AB即為最短距離和。

2.兩點(diǎn)同側(cè)

題型特征：求在直線同側(cè)的兩點(diǎn)到第三點(diǎn)的最短距離之和

解題方法：將其中一點(diǎn)鏡像對稱，使三點(diǎn)共線

例1.【2019浙江】 A、B點(diǎn)和墻的位置如圖所示。現(xiàn)從A點(diǎn)出發(fā)以5米/秒的速度跑向墻，接觸到墻后再跑到B點(diǎn)。問最少要多少秒到達(dá)B點(diǎn)?

A.30          B.34           C.38            D.42

【解題思路】要用最短時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)，在速度一定的情況下，需從A接觸到墻后再跑到B點(diǎn)所走的路程最短。如圖，由于A和B在墻的同側(cè)，可考慮做其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于墻的對稱點(diǎn)，該對稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的連線即為最短路程。假設(shè)做A點(diǎn)的對稱點(diǎn)C，最短距離為BC。CD=90米，BD=30+45+45=120米，最短距離BC==150米，則t==30秒,正確答案為A。

【點(diǎn)評】先判斷為同側(cè)問題，需要作其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)，再連接另外一點(diǎn)，用勾股定理求解。兩點(diǎn)同側(cè)時(shí)，對稱哪一個(gè)點(diǎn)都可以，但是一般為了計(jì)算方便，建議對稱短的那一個(gè)。

例2.【2017聯(lián)考】如下圖所示，某條河流一側(cè)有A.、B.兩家工廠，與河岸的距離分別為4km和5km，且A.與B.的直線距離為11km。為了處理這兩家工廠的污水，需要在距離河岸1km處建造一個(gè)污水處理廠，分別鋪設(shè)排污管道連接A.、B.兩家工廠。假定河岸是一條直線，則排污管道總長最短是：

A.12km           B.13km         C.14km          D.15km

【解題思路】如下圖所示，過污水處理廠做河岸的平行線HC，D為A關(guān)于HC的對稱點(diǎn)，則最短距離為DB，由題污水廠離河1km可得A點(diǎn)距離到HC為HA=HD=3km，B點(diǎn)距離HC等于EH=4km，則DE=3+4=7km。，所以，正確答案為B。

【點(diǎn)評】本題中題目AB為河流一側(cè)，因此為兩點(diǎn)同側(cè)。提醒大家注意，若以河為對稱軸，求的點(diǎn)為交點(diǎn)，此時(shí)污水處理廠建在河里，因此此題的對稱軸是第三個(gè)點(diǎn)所在的水平線，過C作一條沿河岸的平行線，軸距離河岸為1km。計(jì)算時(shí)若忽略了這一點(diǎn)，將無法求解正確答案。

立體幾何最短路徑問題

題型特征：求立體圖形中兩點(diǎn)的最短距離

解題方法：將立體圖形展開放在同一平面，連線計(jì)算

例1.【2019河北】長、寬、高分別為12cm、4cm、3cm的長方體ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1上，有一個(gè)螞蟻從A出發(fā)沿長方體表面爬行到C_1獲取食物，其路程最小值是多少cm?

A.13        B.         C.            D.17

由題干螞蟻從A出發(fā)沿長方體表面爬行到求最短，畫圖可知，在長方體中A和不在同一平面，要求最短距離先要把A和C_1放在同一平面內(nèi)，則把面翻折，形成面，再連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線最短求解。如下圖：

是直角三角形ABC_1的斜邊，要讓斜邊最短，則兩直角邊的平方和要盡可能小。當(dāng)AB=12，=4+3=7時(shí)，兩直角邊的平方和最小，最短==，正確答案為B。

【點(diǎn)評】長方體最短路徑問題可直接運(yùn)用結(jié)論，長方體中相對的兩個(gè)頂點(diǎn)沿表面走的最短距離為：；最短路徑數(shù)為2條，因?yàn)殚L方體存在對立面，每一條路徑都有一條與之相對的路徑，因此有2條。

例2.【2013北京】A和B為正方體兩個(gè)相對的頂點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)從A出發(fā)沿正方體表面以最短路徑移動到B，則其可選擇的路線有幾條：

A.2          B.3          C.6            D.12

【解題思路】正方體有3組對立面，如圖可知每一條路線在對立面上都有一條與之對應(yīng)的路線，因此每組對立面有2條路線，3組對立面共6條路線，正確答案為C。

【點(diǎn)評】若本題為求A到B最短距離，則可將正方體展開，將AB放在同一平面內(nèi)。連接AB后，AB==邊長。

正方體最短路徑問題也有有對應(yīng)結(jié)論，小編建議可以直接用結(jié)論做題，正方體中相對的兩個(gè)頂點(diǎn)最短距離為邊長，最短路徑數(shù)為6條。
　　以上就是對于幾何中的最短路徑問題的詳細(xì)講解。幾何問題在近幾年的國考、聯(lián)考及單獨(dú)命題省考中每年均有考查，最短路徑問題大家可以看到套路性很強(qiáng)，希望各位考生通過學(xué)習(xí)均能對此有良好的掌握。